Question

已知数列an=

an+bn+1

an+bn+2

（a＞b＞0，n∈N^*），试判定：依据a、b的不同取值，集合M={m|m=

lim

n→∞

an}含有三个元素，并用列举法表示集合M．

Answer 1

分析：由结论：“当|q|＜1时，

lim

n→∞

qn=0“，且根据本题条件a＞b＞0，故本题需根据变量a和常数1的大小比较进行分类讨论
分（1）当1＞a＞b＞0时，（2）当a=1＞b＞0时，（3）当a＞1＞b＞0或a＞b≥1＞0三种情况讨论，进行求解

解答：解：由结论：“当|q|＜1时，

lim

n→∞

qn=0“，且根据本题条件a＞b＞0，故本题需根据变量a和常数1的大小比较进行分类讨论
（1）当1＞a＞b＞0时，

lim

n→∞

an+bn+1

an+bn+2

=

1

2

（2）当a=1＞b＞0时，

lim

n→∞

an+bn+1

an+bn+2

=

lim

n→∞

2+bn

3+bn

=

2

3

（3）当a＞1＞b＞0或a＞b≥1＞0时，

lim

n→∞

an+bn+ 1

an+bn+2

=

lim

n→∞

1+( b a )n+ 1 an

1+( b a )n+ 2 an

=1
故集合M={m|m=

lim

n→∞

an}含有以三个元素，用列举法表示集合M={

1

2

，1，

2

3

}

点评：本题主要考查了数列极限求解的结论：“当|q|＜1时，

lim

n→∞

qn=0“，的简单应用，本题需根据变量a和常数1的大小比较进行分类讨论，体现了分类讨论的思想在解题中的应用．