Question

16．已知数列{a_n}是公比为q的等比数列，S_n是其前n项和，且S₄，S₁₀，S₇成等比数列．
（1）求证：a₂ ，a₈，a₅ 成等差数列；
（2）以a₂ ，a₈，a₅为前三项的等差数列的第四项是不是数列{a_n}中的一项？若是，求这一项；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}的公比为q，根据等差中项的性质可知2S₁₀=S₄+S₇，代入等比数列求和公式整理得1+q³=2q⁶．进而根据等比数列的通项公式可推断a₂+a₅=2a₈．进而证明原式．
（2）要以a₂， a₈，a₅为前三项的等差数列的第四项是数列{a_n}中的第k项，必有a_k-a₅=a₈-a₂，所以$\frac{{a}_{k}}{{a}_{2}}$-q³=q⁶-1，所以$\frac{{a}_{k}}{{a}_{2}}$=-$\frac{5}{4}$，即可得出结论．

解答 （1）证明：设数列{a_n}的公比为q，
因为S₄，S₁₀，S₇成等差数列，所以q≠1，且2S₁₀=S₄+S₇．
所以$\frac{2{a}_{1}（1-{q}^{10}）}{1-q}$=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}$+$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{7}）}{1-q}$，
因为1-q≠0，所以1+q³=2q⁶．
所以a₁q+a₁q⁴=2a₁q⁷，即a₂+a₅=2a₈．
所以a₂ ，a₈，a₅ 也成等差数列；
（2）解：由2q⁶=1+q³=-$\frac{1}{2}$
要以a₂， a₈，a₅为前三项的等差数列的第四项是数列{a_n}中的第k项，
必有a_k-a₅=a₈-a₂，所以$\frac{{a}_{k}}{{a}_{2}}$-q³=q⁶-1 
所以$\frac{{a}_{k}}{{a}_{2}}$=-$\frac{5}{4}$，
所以q^k-2=-$\frac{5}{4}$，
由k是整数，所以q^k-2=-$\frac{5}{4}$不可能成立，
所以a₂， a₈，a₅为前三项的等差数列的第四项不可能也是数列{a_n}中的一项．

点评 本题主要考查等比数列的性质，考查了学生根据已知条件，分析和解决问题的能力，属于中档题．