Question

如图，四棱锥O-ABCD中，底面是边长为1的菱形，∠ABC=

π

4

，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，则异面直线AB与MD所成角的大小为（　　）

• A、

  π

  6

• B、

  π

  4

• C、

  π

  3

• D、

  3π

  4

Answer 1

分析：根据CD∥AB，结合异面直线所成的角的定义，可知∠MDC（或其补角）为异面直线AB与MD所成的角，再利用线面垂直的性质与勾股定理加以计算，可得答案．

解答：解：∵CD∥AB，
∴∠MDC（或其补角）为异面直线AB与MD所成的角
作AP⊥CD于P，连结MP，
由OA⊥平面ABCD，得到MP在平面ABCD内的射影为AP，
∴MP⊥CD，
∵∠ABC=

π

4

，
∴RtAPD中，∠ADP=

π

4

，可得DP=

2

2

AD=

2

2

，
∵Rt△ADM中，MD=

AM2+AD2

=

2

，
∴Rt△MDP中，cos∠MDC=

DP

MD

=

1

2

，可得∠MDC=

π

3

即AB与MD所成角的大小为

π

3

．
故选：C

点评：本题以四棱锥为载体，考查线面垂直的判定与性质、勾股定理、异面直线所成角的定义及其求法等知识，属于中档题．