Question

设实数x，y满足条件

4x-y-10≤0 x-2y+8≥0 x≥0，y≥0

若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则

2

a

+

3

b

的最小值为（　　）

• A．

  25

  6

• B．

  8

  3

• C．

  11

  3

• D．4

Answer 1

分析：由已知可得2a+3b=6，则

2

a

+

3

b

=（2a+3b）（

2

a

+

3

b

）×

1

6

，然后利用基本不等式可求最小值

解答：解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，
当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）
过直线4x-y-10=0与直线x-2y+8=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12
∴4a+6b=12即2a+3b=6
则

2

a

+

3

b

=（2a+3b）（

2

a

+

3

b

）×

1

6

=

13+ 6a b + 6b a

6

≥

13+12

6

=

25

6

当且仅当

6b

a

=

6a

b

即a=b=

6

5

时取等号
故选A

点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．