Question

对于函数f（x），若存在x∈R，使f（x）=x成立，则称点（x，f（x））为函数f（x）的不动点．
（1）若函数f（x）=ax²+bx-2b（a≠0）有不动点（0，0）和（1，1），求f（x）的解析表达式；
（2）若对于任意实数b，函数f（x）=ax²+bx-2b总有2个相异的不动点，求实数a的取值范围；
（3）若定义在R上的函数g（x）满足g（-x）=-g（x），且g（x）存在（有限的）n个不动点，求证：n必为奇数．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据不动点的定义，及已知中函数f（x）=ax²+bx-2b（a≠0）有不动（0，0）和（1，1），我们易构造一个关于a，b的二元一次方程组，解方程组即可；
（2）若函数f（x）=ax²+bx-2b总有两个相异的不动点，则方程ax²+bx-2b=x有两个相异的实根，由此可以构造出一个不等式，结合函数的性质，解不等式即可得到a的范围；
（3）（x，x）与（-x，-x）是成对出现，故是偶数，（0，0）在图形上，所以，n必是奇数．
解答：解：（1）由题意 ，即，
解得．∴f（x）=x²
（2）函数f（x）=ax²+bx-2b总有两个相异的不动点，
即关于x的方程f（x）=x有两个不等根．
化简f（x）=x得到ax²+（b-1）x-2b=0．
所以（b-1）²+8ab＞0，即b²+（8a-2）b+1＞0．
由题意，该关于b的不等式恒成立，
所以（8a-2）²-4＜0．解之得：0＜a＜．
（3）（x，x）与（-x，-x）是成对出现，故是偶数，（0，0）在图形上，所以，n必是奇数．
点评：本题主要考查了新定义，以及函数恒成立问题，同时考查了转化的数学思想，属于中档题．