Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（1）求PB和平面PAD所成的角的大小；
（2）证明AE⊥平面PCD．

Answer 1

【答案】解：（1）在四棱锥P﹣ABCD中，
因PA⊥底面ABCD，AB平面ABCD，
故PA⊥AB．
又AB⊥AD，PA∩AD=A，
从而AB⊥平面PAD，
故PB在平面PAD内的射影为PA，从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．
在Rt△PAB中，AB=PA，故∠APB=45°．
所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°．
（2）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，
因为PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，
所以CD⊥PA．
因为CD⊥AC，PA∩AC=A，
所以CD⊥平面PAC．
又AE平面PAC，所以AE⊥CD．
由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA．
因为E是PC的中点，所以AE⊥PC．
又PC∩CD=C，
所以AE⊥平面PCD．

【解析】（1）先找出PB和平面PAD所成的角，再进行求解即可；
（2）可以利用线面垂直根据二面角的定义作角，再证明线面垂直．
【考点精析】通过灵活运用空间角的异面直线所成的角，掌握已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则即可以解答此题．