【题目】已知函数f(x)=xln(x+ (a>0)为偶函数.
(1)求a的值;
(2)求g(x)=ax2+2x+1在区间[﹣6,3]上的值域.
【答案】
(1)解:由题意知f(x)是偶函数,
∵a>0,∴ >
=|x|≥﹣x,
所以函数f(x)定义域为R,
则有:f(1)=f(﹣1),
即ln(1+ )=﹣ln(﹣1+
),
∴1+ =
,
即2a+1﹣1=1,a=
(2)解:g(x)= (x+2)2﹣1,
开口向上,对称轴为x=﹣2,
∴g(x)关于x在[﹣6,﹣2]上递减,则g(﹣2)≤g(x)≤g(﹣6),
g(x) 关于x在(﹣2,3]上递增,则g(﹣2)<g(x)≤g(3),
又g(﹣2)=﹣1,g(3)= ,g(﹣6)=7,
g(x)的值域为[﹣1, ]
【解析】(1)根据函数的奇偶性,求出a的值即可;(2)求出g(x)的表达式,根据函数的单调性求出g(x)在值域即可.
【考点精析】利用二次函数在闭区间上的最值对题目进行判断即可得到答案,需要熟知当时,当
时,
;当
时在
上递减,当
时,
.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.
(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;
(2)证明AE⊥平面PCD.
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【题目】已知函数f(x)=bax(a>0,且a≠1,b∈R)的图象经过点A(1,6),B(3,24).
(1)设g(x)= ﹣
,确定函数g(x)的奇偶性;
(2)若对任意x∈(﹣∞,1],不等式( )x≥2m+1恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AD,点E、F分别为棱AB、PD的中点. (Ⅰ)求证:AF∥平面PCE;
(Ⅱ)AD与平面PCD所成的角的大小.
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【题目】已知函数f(x)= (a>0).
(1)证明函数f(x)在(0,2]上是减函数,(2,+∞)上是增函数;
(2)若方程f(x)=0有且只有一个实数根,判断函数g(x)=f(x)﹣4的奇偶性;
(3)在(2)的条件下探求方程f(x)=m(m≥8)的根的个数.
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【题目】网购是当前民众购物的新方式,某公司为改进营销方式,随机调查了100名市民,统计其周平均网购的次数,并整理得到如下的频数分布直方图.这100名市民中,年龄不超过40岁的有65人将所抽样本中周平均网购次数不小于4次的市民称为网购迷,且已知其中有5名市民的年龄超过40岁.
(1)根据已知条件完成下面的列联表,能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关?
网购迷 | 非网购迷 | 合计 | |
年龄不超过40岁 | |||
年龄超过40岁 | |||
合计 |
(2)若从网购迷中任意选取2名,求其中年龄超过40岁的市民人数的分布列与期望.
附: ;
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.01 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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【题目】如图,ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,∠BAD=60°.
(1)求证:平面PBD⊥平面PAC;
(2)求点A到平面PBD的距离;
(3)求二面角A﹣PB﹣D的余弦值.
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