【题目】如图,ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,∠BAD=60°.
(1)求证:平面PBD⊥平面PAC;
(2)求点A到平面PBD的距离;
(3)求二面角A﹣PB﹣D的余弦值.
【答案】
(1)证明:设AC与BD交于O点
∵ABCD是菱形,∴AC⊥BD
以OA、OB所在直线分别x轴,y轴.以过O且垂直平面ABCD的直线为z轴,建立如图的空间直角坐标系,
则
∵
∴
∴DB⊥AP
∵AC⊥BD,AC∩AP=A
∴DB⊥平面PAC,又DB平面PDB
∴平面PBD⊥平面PAC
(2)解:设平面PDB的法向量为 ,
由 ,∴
令z1=1得
∵
∴点A到平面PBD的距离 =
(3)解:设平面ABP的法向量 ,
∵ ,∴
∴
∴
∴二面角A﹣PB﹣D的余弦值为
【解析】(1)先证明AC⊥BD,再利用向量的方法证明DB⊥AP,从而可得DB⊥平面PAC,利用面面垂直的判定可得面PBD⊥平面PAC;(2)求出平面PDB的法向量为 ,
,从而可求点A到平面PBD的距离;(3)求出平面ABP的法向量
,利用向量的夹角公式,即可求得二面角A﹣PB﹣D的余弦值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面与平面垂直的判定的相关知识,掌握一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
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【题目】下列四组中,f(x)与g(x)表示同一函数的是( )
A.f(x)=x,
B.f(x)=x,
C.f(x)=x2 ,
D.f(x)=|x|,g(x)=
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【题目】双曲线 =1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1 , F2渐近线分别为l1 , l2 , 位于第一象限的点P在l1上,若l2⊥PF1 , l2∥PF2 , 则双曲线的离心率是( )
A.
B.
C.2
D.
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【题目】集合A={(x,y)|y=a},集合B={(x,y)|y=bx+1,b>0,b≠1},若集合A∩B≠,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞,1)
B.(﹣∞,1]
C.[1,+∞)
D.(1,+∞)
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【题目】设集合A={x|x2+ax﹣12=0},B={x|x2+bx+c=0},且A≠B,A∪B={﹣3,4},A∩B={﹣3},求实数b,c的值.
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【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D是BC的中点.
(1)求证:A1B∥平面ADC1;
(2)若AB⊥AC,AB=AC=1,AA1=2,求几何体ABD﹣A1B1C1的体积.
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【题目】某工厂的污水处理程序如下:原始污水必先经过A系统处理,处理后的污水(A级水)达到环保标准(简称达标)的概率为.经化验检测,若确认达标便可直接排放;若不达标则必须进行B系统处理后直接排放.
某厂现有个标准水量的A级水池,分别取样、检测. 多个污水样本检测时,既可以逐个化验,也可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有样本不达标,则混合样本的化验结果必不达标.若混合样本不达标,则该组中各个样本必须再逐个化验;若混合样本达标,则原水池的污水直接排放.
现有以下四种方案,
方案一:逐个化验;
方案二:平均分成两组化验;
方案三:三个样本混在一起化验,剩下的一个单独化验;
方案四:混在一起化验.
化验次数的期望值越小,则方案的越“优”.
(Ⅰ) 若,求
个A级水样本混合化验结果不达标的概率;
(Ⅱ) 若,现有
个A级水样本需要化验,请问:方案一,二,四中哪个最“优”?
(Ⅲ) 若“方案三”比“方案四”更“优”,求的取值范围.
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【题目】已知数列中,
,
,
.数列
的前n项和为
,满足
,
.
(1)求数列的通项公式;
(2)数列能否为等差数列?若能,求其通项公式;若不能,试说明理由;
(3)若数列是各项均为正整数的递增数列,设
,则当
,
,
和
,
,
均成等差数列时,求正整数
,
,
的值.
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