【题目】如图,三棱柱中,侧面
为菱形且
,
,
分别为
和
的中点,
,
,
.
(Ⅰ)证明:直线∥平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(I)见解析;(II).
【解析】试题分析:(I)取中点
,可证
,
,
两两互相垂直,建立以
为原点,
分别为
轴,建立空间直角坐标系,得出各点坐标,可求
与平面
的法向量,利用两向量垂直可证结论;(II)先求出二面角两半平面的法向量,利用法向量夹角与二面角平面角间关系可得结果.
试题解析:解法一:∵,且
为中点,
,∴
,
又 ,
,∴
,
,
又 ,∴
平面
,
取中点
,则
,即
,
,
两两互相垂直,
以为原点,
分别为
轴,建立空间直角坐标系如图(4), ∴
,
,
,
,
,
,
(I) ,设平面
的法向量为
,
则,取
,
∵,∴
,
又平面
, ∴直线
∥平面
.
(II) 设平面的法向量为
,
,
则 ,取
,
又由(Ⅰ)知平面的法向量为
,设二面角
为
,
∴,
∵ 二面角为锐角,∴ 二面角
的余弦值为
.
解法二:取中点
,则
,即
,以
为原点,
,
分别为
轴,
建立空间直角坐标系如图(5),设点,
又,
,
∴,即
,∴
,
由 ,
,
可得:
,解得
,
∴,
,
,
下同解法二.
解法三:(Ⅰ)如图(6),取中点
,连接
,则有
,
∴为平行四边形, ∴
∥
,
又平面
,
平面
,∴ 直线
∥平面
.
(Ⅱ)由各棱长,易得,∴
平面
,
取中点
,连接
,过
作
于
,连接
,
如图(8),可证: 平面
,
证明平面
,可得
,
故为所求的二面角的平面角,
在中,求得:
,故所求的二面角的余弦值为
.
解法四:
(Ⅰ)如图(7),取中点
,由
∥
,
平面
,∴ 直线
∥平面
,
由∥
,
平面
,
∴ 直线∥平面
,
又,∴平面
∥平面
,
又平面
, ∴ 直线
∥平面
.
(Ⅱ)同解法一.
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【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D是BC的中点.
(1)求证:A1B∥平面ADC1;
(2)若AB⊥AC,AB=AC=1,AA1=2,求几何体ABD﹣A1B1C1的体积.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某工厂的污水处理程序如下:原始污水必先经过A系统处理,处理后的污水(A级水)达到环保标准(简称达标)的概率为.经化验检测,若确认达标便可直接排放;若不达标则必须进行B系统处理后直接排放.
某厂现有个标准水量的A级水池,分别取样、检测. 多个污水样本检测时,既可以逐个化验,也可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有样本不达标,则混合样本的化验结果必不达标.若混合样本不达标,则该组中各个样本必须再逐个化验;若混合样本达标,则原水池的污水直接排放.
现有以下四种方案,
方案一:逐个化验;
方案二:平均分成两组化验;
方案三:三个样本混在一起化验,剩下的一个单独化验;
方案四:混在一起化验.
化验次数的期望值越小,则方案的越“优”.
(Ⅰ) 若,求
个A级水样本混合化验结果不达标的概率;
(Ⅱ) 若,现有
个A级水样本需要化验,请问:方案一,二,四中哪个最“优”?
(Ⅲ) 若“方案三”比“方案四”更“优”,求的取值范围.
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【题目】已知f(x)= ,当点M(x,y)在y=f(x)的图象上运动时,点N(x﹣2,ny)在函数y=gn(x)的图象上运动(n∈N*).
(1)求y=gn(x)的表达式;
(2)若方程g1(x)=g2(x﹣2+a)有实根,求实数a的取值范围;
(3)设 ,函数F(x)=H1(x)+g1(x)(0<a≤x≤b)的值域为
,求实数a,b的值.
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【题目】已知空间三点A(0,2,3),B(﹣2,1,6),C(1,﹣1,5);求:
(1)求以向量 为一组邻边的平行四边形的面积S;
(2)若向量a分别与向量 垂直,且|a|=
,求向量a的坐标.
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【题目】已知数列中,
,
,
.数列
的前n项和为
,满足
,
.
(1)求数列的通项公式;
(2)数列能否为等差数列?若能,求其通项公式;若不能,试说明理由;
(3)若数列是各项均为正整数的递增数列,设
,则当
,
,
和
,
,
均成等差数列时,求正整数
,
,
的值.
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