Question

18．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}-2x+1（x≥0）}\\{1-a{x}^{2}（x＜0）}\end{array}\right.$
（1）对某一确定的实数a，若f（x）=k（k∈R）有且仅有两个实数根，求k的值，并求出方程的根．
（2）对于任意的x∈[-a，a]，设g（a）=f（x）_max-f（x）_min，求g（a）．

Answer 1

分析 （1）分a=0，a＜0，与a＞0讨论f（x）的取值及单调性情况，从而确定k的取值，同时求出方程的根；
（2）结合（1）知，分$\frac{2}{a}$＜a，即a＞$\sqrt{2}$时，$\frac{1}{a}$＜a≤$\frac{2}{a}$，即1＜a$≤\sqrt{2}$时，0＜a≤1时讨论函数的最大值与最小值，最后以分段函数的形式表示即可．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+1，x≥0}\\{1，x＜0}\end{array}\right.$；故不可能；
当a＜0时，f（x）在R上单调递减，故不可能；
当a＞0时，
f（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，$\frac{1}{a}$）上单调递减，
在（$\frac{1}{a}$，+∞）上单调递增；
故当k=f（0）=1时，
f（x）=k（k∈R）有且仅有两个实数根0或$\frac{2}{a}$；
当k=f（$\frac{1}{a}$）=1-$\frac{1}{a}$时，
f（x）=k（k∈R）有且仅有两个实数根$\frac{1}{a}$或-$\frac{1}{a}$；
（2）①当$\frac{2}{a}$＜a，即a＞$\sqrt{2}$时，
f（x）_max=f（a）=a³-2a+1，f（x）_min=f（-a）=1-a³；
故g（a）=a³-2a+1-（1-a³）=2a³-2a；
②$\frac{1}{a}$＜a≤$\frac{2}{a}$，即1＜a$≤\sqrt{2}$时，
f（x）_max=f（0）=1，f（x）_min=f（-a）=1-a³；
故g（a）=1-（1-a³）=a³；
③0＜a≤1时，
f（x）_max=f（0）=1，
f（-a）=1-a³，f（a）=a³-2a+1；
f（a）-f（-a）=a³-2a+1-（1-a³）=2a³-2a≤0，
f（x）_min=f（a）=a³-2a+1；
故g（a）=1-（a³-2a+1）=-a³+2a．
综上所述，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{-{a}^{3}+2a，0＜a≤1}\\{{a}^{3}，1＜a≤\sqrt{2}}\\{2{a}^{3}-2a，a＞\sqrt{2}}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了分段函数的应用及二次函数的性质，同时考查了分类讨论的思想应用，属于难题．