Question

13．如图，一条直线与抛物线y²=2px（p＞0）交于A，B两点，且OA⊥OB，F为抛物线的焦点，若△ABO与△AFO面积之和的最小值为50$\sqrt{5}$，则抛物线的方程为（　　）

• A． y²=20x
• B． y²=10x
• C． y²=5x
• D． y²=$\frac{5}{2}$x

Answer 1

分析 先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及两直线垂直的条件：x₁•x₂+y₁•y₂=0消元，最后将面积之和表示出来，运用基本不等式探求最值问题．

解答 解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线AB与x轴的交点为M（m，0），
将x=ty+m代入y²=2px，可得y²-2pty-2pm=0，
根据韦达定理有y₁•y₂=-2pm，
∵OA⊥OB，∴x₁•x₂+y₁•y₂=0，从而$\frac{1}{4{p}^{2}}$（y₁•y₂）²+y₁•y₂=0，
∵点A，B位于x轴的两侧，
∴y₁•y₂=-4p²，故m=2p．
不妨令点A在x轴上方，则y₁＞0，
又F（$\frac{p}{2}$，0），
∴S_△ABO+S_△AFO=$\frac{1}{2}$×2p×（y₁-y₂）+$\frac{1}{2}$×$\frac{p}{2}$y₁=$\frac{5p}{4}$y₁+$\frac{4{p}^{3}}{{y}_{1}}$≥2$\sqrt{5}$p²，
当且仅当$\frac{5p}{4}$y₁=$\frac{4{p}^{3}}{{y}_{1}}$时，取“=”号，
∴2$\sqrt{5}$p²=50$\sqrt{5}$，∴p=5，
故抛物线的方程为：y²=10x．
故选B．

点评 求解本题时，应考虑以下几个要点：
1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．
2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．
3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．