Question

2．已知命题p：函数f（x）=ln（e^x-x+a²-10）（e为自然对数的底数）的值域为R，命题q：${∫}_{0}^{a}$（$\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}$+$\frac{1}{x+1}$）dx＞$\frac{π}{4}$+ln2．若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，那么实数a的取值范围是（　　）

• A． （1，3]
• B． （-∞，-3）
• C． [-3，1]∪（3，+∞）
• D． （-∞，1]∪（3，+∞）

Answer 1

分析 根据对数函数的值域与定义域便知道函数f（x）有意义时，e^x-x+a²-10的取值范围为（0，+∞），而对函数e^x-x+a²-10取导数容易求出该函数有极小值，即得到e^x-x+a²-10≥a²-9，从而得出a²-9≤0，-3≤a≤3．对于命题q中的定积分，关键求出${{∫}_{0}}^{a}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}dx$：令x=asinθ，该定积分便等于${{∫}_{0}}^{\frac{π}{2}}{a}^{2}co{s}^{2}θdθ=\frac{{a}^{2}π}{4}$，从而便可求得原定积分，从而得到$\frac{{a}^{2}π}{4}+ln（a+1）＞\frac{π}{4}+ln2$，这便可求出a＞1，根据已知条件知道p真q假，或p假q真，求出每种情况下的a的取值范围再求并集即可．

解答 解：（1）对于命题p，要使f（x）的值域为R；
则要使f（x）有意义，e^x-x+a²-10的取值范围为（0，+∞）；
设g（x）=e^x-x+a²-10，g′（x）=e^x-1；
∴x＜0时，g′（x）＜0；x＞0时，g′（x）＞0；
∴g（0）=a²-9是g（x）的极小值；
∴g（x）≥a²-9；
∴a²-9≤0；
∴-3≤a≤3；
（2）对于命题q，先求${{∫}_{0}}^{a}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}dx$；
设x=asinθ，则${{∫}_{0}}^{a}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}dx$=${{∫}_{0}}^{\frac{π}{2}}{a}^{2}co{s}^{2}θdθ$=${a}^{2}{{∫}_{0}}^{\frac{π}{2}}\frac{1+cos2θ}{2}dθ$=$\frac{{a}^{2}θ}{2}{{|}_{0}}^{\frac{π}{2}}+\frac{{a}^{2}sin2θ}{4}{{|}_{0}}^{\frac{π}{2}}$=$\frac{{a}^{2}π}{4}$；
∴${{∫}_{0}}^{a}（\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}+\frac{1}{x+1}）dx$=$\frac{{a}^{2}π}{4}+ln（a+1）$；
∴$\frac{{a}^{2}π}{4}+ln（a+1）＞\frac{π}{4}+ln2$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}＞1}\\{a＞1}\end{array}\right.$；
∴a＞1；
若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则p，q一真一假；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3≤a≤3}\\{a≤1}\end{array}\right.，或\left\{\begin{array}{l}{a＜-3，或a＞3}\\{a＞1}\end{array}\right.$；
∴-3≤a≤1，或a＞3；
∴实数a的取值范围是[-3，1]∪（3，+∞）．
故选C．

点评 考查对数函数的定义域与值域，根据函数导数求函数极值的方法与过程，换元法求定积分的方法与过程，熟练对数的导数，正弦函数的导数，求定积分的方法，以及p∨q，p∧q真假和p，q真假的关系．