Question

17．已知平行四边形OABC，$\overrightarrow{OA}$=（4，2），$\overrightarrow{OC}$=（2，6），则$\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{AC}$夹角的余弦是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． -$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• D． -$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 由向量的加法、减法法则和向量的坐标运算求出$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{AC}$的坐标，再利用向量的数量积运算求出$\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{AC}$夹角的余弦．

解答 解：因为在平行四边形OABC中，$\overrightarrow{OA}$=（4，2），$\overrightarrow{OC}$=（2，6），
所以$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$=（6，8），$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$=（-2，4），
设$\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{AC}$夹角是θ，
则cosθ=$\frac{\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{OB}||\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{-12+32}{\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}×\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{20}{10×2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故选：C．

点评 本题考查利用向量的数量积运算求向量夹角的余弦值，向量的加法、减法法则，以及向量的坐标运算，属于中档题．