Question

5．已知函数|x²+3x|-a|x-1|=0有四个不同的实数根，求a的取值范围．

Answer 1

分析 由题意可知函数f（x）=|x²+3x|与g（x）=a|x-1|有四个不同的交点，作函数的图象，并找出临界值，结合图象求范围即可．

解答 解：∵方程|x²+3x|-a|x-1|=0有四个不同的实数根，
∴函数f（x）=|x²+3x|与g（x）=a|x-1|有四个不同的交点，
作函数f（x）=|x²+3x|与g（x）=a|x-1|的图象如下，

当-3＜x＜0时，
f（x）=|x²+3x|=-（x²+3x），f′（x）=-2x-3；
g（x）=a|x-1|=-ax+a；
设g（x）与f（x）相切于点A（b，f（b）），
则$\frac{f（b）-0}{b-1}$=-2b-3；
解得，b=-1或b=3（舍去）；
故-a=f′（-1）=2-3=-1；
故a=1；
结合图象知，0＜a＜1．

点评 本题考查了方程的根与函数的图象的关系应用，同时考查了导数的应用，属于中档题．