Question

20．已知函数f（x）=blnx+x²，其中b为实数
（1）当b=-1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若任意的x∈[1，e]，f（x）-（b+2）x≥0恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当b=-1时，求函数的导数利用导数的几何意义即可求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）利用参数分离法将不等式转化b≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$恒成立，即只需求出g（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$最小值即可．

解答 解：（1）当b=-1时，f（x）=-lnx+x²，
则f′（x）=2x-$\frac{1}{x}$，得f′（1）=1．
当x=1时，f（1）=1，
于是曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-1=x-1，即为x-y=0．
（2）依题意，f（x）-（b+2）x≥0即为（x-lnx）b≤（x²-2x），
因为x∈[1，e]，所以lnx≤1≤x，且等号不能同时成立，
所以lnx＜x，即x-lnx＞0，
所以b≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$恒成立，即只需求出$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$的最小值即可．
令g（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，
则g′（x）=$\frac{（2x-2）（x-lnx）-（{x}^{2}-2x）（1-\frac{1}{x}）}{（x-lnx）^{2}}$=$\frac{（x-1）（x+2-2lnx）}{（x-lnx）^{2}}$，
当x∈[1，e]时，x-1≥0，lnx≤1，
所以x+2-2lnx＞0，故g′（x）≥0，
所以函数g（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$在区间[1，e]上为增函数．
故函数g（x）的最小值为g（1）=-1，
从而b≤-1．

点评 本题主要考查导数的综合应用：求切线方程和单调区间、极值和最值，根据导数的几何意义以及函数最值和导数之间的关系是解决本题的关键．