Question

15．已知抛物线C：y²=2px（p＞0），上的点M（1，m）到其焦点F的距离为2，
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在C上，求此正三角形的边长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出抛物线的准线方程，运用抛物线的定义可得1-（-$\frac{p}{2}$）=2，可得p=2，进而得到抛物线方程；
（Ⅱ）设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入抛物线方程，由|OA|=|OB|，推得线段AB关于x轴对称，因为x轴垂直于AB，且∠AOx=30°，得到x₁，y₁的方程，解得即可得到AB的长．

解答 解：（Ⅰ）抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，
由抛物线的定义可知：|MF|=1-（-$\frac{p}{2}$）=2，解得p=2，
因此，抛物线C的方程为y²=4x；
（Ⅱ）设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，
且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁²=4x₁，y₂²=4x₂．
∵|OA|=|OB|，
∴x₁²+y₁²=x₂²+y₂²，即
x₁²-x₂²+4x₁-4x₂=0⇒（x₁-x₂）（x₁+x₂+4）=0．
∵x₁＞0，x₂＞0，∴x₁=x₂，
即|y₁|=|y₂|，即线段AB关于x轴对称．
因为x轴垂直于AB，且∠AOx=30°，
不妨取y₁＞0，所以$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
因为x₁=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，所以y₁=4$\sqrt{3}$，
故正三角形的边长|AB|=2y₁=8$\sqrt{3}$．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查抛物线的方程和准线方程的运用，同时考查两点的距离公式和化简整理的能力，属于中档题．