Question

3．如图，抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（2，1），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均在抛物线上．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若∠APB的平分线垂直于y轴，证明直线AB的斜率为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出抛物线方程，再代入点P坐标，即可求得抛物线方程；
（Ⅱ）若∠APB的平分线垂直于y轴，则有k_AP+k_BP=0，运用直线的斜率公式和点在曲线上满足抛物线方程，化简整理，再由AB的斜率公式，计算即可得到定值．

解答 （Ⅰ）解：设抛物线的方程为x²=2py（p＞0），
由点P（2，1）在抛物线上，
即有2²=2p，解得p=2，
则有抛物线的方程为x²=4y；
（Ⅱ）证明：若∠APB的平分线垂直于y轴，
则有k_AP+k_BP=0，
即$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$=0，
即有$\frac{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-1}{{x}_{1}-1}$+$\frac{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}-1}{{x}_{2}-1}$=0，
化简得，$\frac{1}{4}$（x₁+2）+$\frac{1}{4}$（x₂+2）=0，
即为x₁+x₂=-4，
则有k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{4}$（x₁+x₂）=-1．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要待定系数法求方程的方法，同时考查直线的斜率公式和对称性的运用，属于中档题．