Question

13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinC-$\sqrt{3}ccosB=0$．
（1）求角B；
（2）若b=7，求△ABC的周长的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理可得$sinBsinC-\sqrt{3}sinCcosB=0$，结合sinC≠0，cosB≠0，可求$tanB=\sqrt{3}$，结合B的范围即可解得B的值．
（2）由余弦定理可得9=a²+c²-ac，从而${（a+c）^2}=3ac+49≤\frac{3}{4}{（a+c）^2}+49$，从而可求△ABC周长的最大值．

解答 解：（1）因为$bsinC-\sqrt{3}ccosB=0$，
∴$sinBsinC-\sqrt{3}sinCcosB=0$，…（2分）
因为sinC≠0，cosB≠0，
∴$tanB=\sqrt{3}$，结合0＜B＜π可解得：$B=\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）由7²=a²+c²-2accosB，得49=a²+c²-ac，…（7分）
∴${（a+c）^2}=3ac+49≤\frac{3}{4}{（a+c）^2}+49$，
∴a+c≤14（当且仅当a=c=7时取等号），
∴△ABC周长的最大值为21．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查．