Question

3．已知函数f（x）=sinxcos（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$cos2x
（1）求函数f（x）的最大值；
（2）已知△ABC的面积为$\sqrt{3}$，且角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=$\frac{1}{2}$，b+c=5，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角函数的恒等变换求得f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$，从而求得函数的最大值．
（2）根据f（A）=$\frac{1}{2}$，求得A的值，再根据△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求得bc=4，结合b+c=5求得b、c的值，再利用余弦定理求得a的值．

解答 解：（1）函数f（x）=sinxcos（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$cos2x=sinx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx+$\frac{1}{2}$sinx）+$\frac{1}{2}$（2cos²x-1）
$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx+$\frac{1}{2}$cos²x=$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx+$\frac{1}{2}$cos2x）+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$，
故函数的最大值为$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．
（2）由题意可得f（A）=$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$sin（2A+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$，∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$．
再根据2A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{13π}{6}$），可得2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，A=$\frac{π}{3}$．
根据△ABC的面积为$\frac{1}{2}$bc•sinA=$\sqrt{3}$，∴bc=4，又∵b+c=5，∴b=4、c=1，或b=1、c=4．
利用余弦定理可得a²=b²+c²-2bc•cosA=13∴a=$\sqrt{13}$．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的值域，余弦定理，属于中档题．