集成电路E由3个不同的电子元件组成.现由于元件老化.三个电子元件能正常工作的概率分别降为$\frac{1}{2}$.$\frac{1}{2}$.$\frac{2}{3}$.且每个电子元件能否正常工作相互独立.若三个电子元件中至少有2个正常工作.则E能正常工作.否则就需要维修.且维修集成电路E所需费用为100元．(Ⅰ)求集成电路E需要维修的概率,(� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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18．集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．
（Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率；
（Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．

分析（Ⅰ）由条件利用相互独立事件的概率乘法公式求得3个元件都不能正常工作的概率P₁ 的值，3个元件中的2个不能正常工作的概率P₂ 的值，再把P₁ 和P₂相加，即得所求．
（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从B（2，$\frac{5}{12}$），求得P（X=100ξ）=P（ξ=k）的值，可得X的分布列，从而求得X的期望．

解答解：（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件A，B，C，则P（A）=$\frac{1}{2}$，P（B）=$\frac{1}{2}$，P（C）=$\frac{2}{3}$．
依题意，集成电路E需要维修有两种情形：
①3个元件都不能正常工作，概率为P₁=P（$\overline{A}$$\overline{B}$$\overline{C}$）=P（$\overline{A}$）P（$\overline{B}$）P（$\overline{C}$）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{12}$．
②3个元件中的2个不能正常工作，概率为P₂=P（A$\overline{B}$$\overline{C}$）+P（$\overline{A}$B$\overline{C}$）+P（$\overline{A}$$\overline{B}$C）
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$．
所以，集成电路E需要维修的概率为P₁+P₂=$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{12}$．
（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从B（2，$\frac{5}{12}$），而X=100ξ，
P（X=100ξ）=P（ξ=k）=${C}_{2}^{K}$•${（\frac{5}{12}）}^{k}$•${（\frac{7}{12}）}^{2-k}$，k=0，1，2．
X的分布列为：

X	0	100	200
P	$\frac{49}{144}$	$\frac{35}{72}$	$\frac{25}{144}$

∴EX=0×$\frac{49}{144}$+100×$\frac{35}{72}$+200×$\frac{25}{144}$=$\frac{250}{3}$．

点评本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率加法公式，离散型随机变量的分布列，属于中档题．

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