Question

8．记定义在R上的可导函数y=f（x），如果存在x₀∈[a，b]，使得f（x₀）=$\frac{{∫}_{a}^{b}f（x）dx}{b-a}$成立，则称x₀为函数f（x）在区间[a，b]上的“平均值点”，那么函数f（x）=x²-3x在区间[-2，2]上“平均值点”的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由“平均值点”的定义，结合定积分的运算，求得f（x₀）=$\frac{4}{3}$，再解二次方程，检验所得的根是否属于[-2，2]，即可判断个数．

解答 解：由“平均值点”的定义可得，存在x₀∈[a，b]，使得f（x₀）=$\frac{{∫}_{a}^{b}f（x）dx}{b-a}$成立，
即有f（x₀）=$\frac{{∫}_{-2}^{2}（{x}^{2}-3x）dx}{2-（-2）}$=$\frac{1}{4}$×（$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²）|${\;}_{-2}^{2}$=$\frac{1}{4}$×[（$\frac{8}{3}$-6）-（-$\frac{8}{3}$-6）]=$\frac{4}{3}$，
即有x₀²-3x₀=$\frac{4}{3}$，
解得x₀=$\frac{3}{2}$±$\frac{\sqrt{129}}{6}$，
则$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{129}}{6}$∉[-2，2]，$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{129}}{6}$∈[-2，2]，
即有在区间[-2，2]上“平均值点”的个数为1．
故选A．

点评 本题考查新定义的理解和运用，主要考查定积分的运算和二次方程的求解，以及判断能力，属于中档题．