Question

13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a+c=$\sqrt{2}b$．
（Ⅰ）若a=c，求角B；
（Ⅱ）若accosB=2，b=2$\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用正弦定理求得cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得A=$\frac{π}{4}$，进而求得sinB=$\sqrt{2}$sinA 的值，可得B的值．
（Ⅱ）由条件利用余弦定理求得ac和B的值，可得△ABC的面积为$\frac{1}{2}$ac•sinB 的值．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，由a+c=$\sqrt{2}b$，a=c，可得 2sinA=$\sqrt{2}$sinB，即sinB=$\sqrt{2}$sinA，
即sin（π-2A）=$\sqrt{2}$sinA，即2sinAcosA=$\sqrt{2}$sinA，求得cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得A=$\frac{π}{4}$，∴sinB=$\sqrt{2}$sinA=1，
∴B=$\frac{π}{2}$．
（Ⅱ）若accosB=2，b=2$\sqrt{3}$，则由余弦定理可得b²=12=a²+c²-2ac•cosB=（a+c）²-2ac-4=2b²-2ac-4=24-2ac-4，
求得ac=4，代入accosB=2，求得cosB=$\frac{1}{2}$，∴B=$\frac{π}{3}$，
∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}$ac•sinB=2•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．