Question

5．已知直线l：y=2x+4与抛物线C：y=ax²（a＞0）交于M，N两点，直线l与x轴交于A点，若$\overrightarrow{AN}$=4$\overrightarrow{AM}$，则抛物线C的方程为y=2x²．

Answer 1

分析 将y=2x+4代入抛物线方程y=ax²，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），运用判别式大于0，和韦达定理，结合向量的共线的坐标表示，解方程可得a=2，进而得到抛物线方程．

解答 解：将y=2x+4代入抛物线方程y=ax²，
可得ax²-2x-4=0，
判别式为4+16a＞0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
x₁+x₂=$\frac{2}{a}$，①x₁x₂=-$\frac{4}{a}$，②
又A（-2，0），
若$\overrightarrow{AN}$=4$\overrightarrow{AM}$，
则x₂+2=4（x₁+2），③
由①②③可得x₁=-1，x₂=2，a=2．
即有抛物线方程为y=2x²，
故答案为：y=2x²．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，同时考查向量共线的坐标表示，属于中档题．