Question

8．设m∈R，过定点A的动直线mx+y=0与过定点B的动直线x-my-1+3m=0交于点P（x，y），则|PA|•|PB|的最大值为5．

Answer 1

分析 由题意可得A（0，0），B（1，3），且两直线始终垂直，可得|PA|²+|PB|²=|AB|²=10．由基本不等式可得|PA|•|PB|≤$\frac{|PA{|}^{2}+|PB{|}^{2}}{2}$，验证等号成立即可．

解答 解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），
动直线mx-y-m+3=0即 m（x-1）-y+3=0，经过点定点B（1，3），
∵动直线x+my=0和动直线mx-y-m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，
∴有PA⊥PB，
∴|PA|²+|PB|²=|AB|²=10．
故|PA|•|PB|≤$\frac{|PA{|}^{2}+|PB{|}^{2}}{2}$=5（当且仅当|PA|=|PB|=$\sqrt{5}$时取“=”）
故答案为：5

点评 本题考查直线过定点问题，涉及基本不等式求最值，属中档题．