Question

15．已知圆C：（x-a）²+（y-a）²=1（a＞0）与直线y=2x相交于P、Q两点，则当△CPQ的面积最大时，实数a的值为$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

Answer 1

分析 求出圆的圆心坐标与半径，利用圆心到直线的距离与半弦长求解三角形的面积，然后求出最大值即可．

解答 解：圆C：（x-a）²+（y-a）²=1（a＞0）的圆心（a，a）半径为1，
圆心到直线y=2x的距离d=$\frac{|2a-a|}{\sqrt{5}}$=$\frac{a}{\sqrt{5}}$，半弦长为：$\sqrt{1{-（\frac{a}{\sqrt{5}}）}^{2}}$=$\sqrt{{1-\frac{a}{5}}^{2}}$，
∴△CPQ的面积S=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{{1-\frac{a}{5}}^{2}}$•$\frac{a}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{（1-\frac{{a}^{2}}{5}）•\frac{{a}^{2}}{5}}$，故当$\frac{{a}^{2}}{5}$=$\frac{1}{2}$，即a=$\sqrt{\frac{5}{2}}$$\frac{\sqrt{10}}{2}$时，S取得最大值为$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系的应用，三角形面积的最值的求法，点到直线的距离公式的应用等知识，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．