Question

3．设椭圆C₁与抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心及C₂的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表：

x	3	-2	4	$\sqrt{2}$
y	-2$\sqrt{3}$	0	-4	$\frac{\sqrt{2}}{2}$

（1）求曲线C₁、C₂的标准方程；
（2）设直线l过抛物线C₂的焦点F，l与椭圆交于不同的两点M，N，当$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=0时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意（-2，0），一定在椭圆C₁上，设C₁方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），可得a=2．于是椭圆C₁上任何点的横坐标|x|≤2．可判断点（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）也在C₁上，代入椭圆方程即可解得b²，因此得到椭圆的方程．从而（3，-2$\sqrt{3}$），（4，-4）一定在抛物线C₂上，设C₂的方程为y²=2px（p＞0），把其中一个点的坐标代入即可得出．
（2）假设直线l过C₂的焦点F（1，0）．分类讨论：当l的斜率不存在时，得出M，N的坐标，然后验证是否满足$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=0，即可，当l的斜率存在时设为k，则l的方程为y=k（x-1）代入C₁方程并整理可得根与系数的关系，利用$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=0，可得k的值即可．

解答 解：（1）由题意（-2，0），一定在椭圆C₁上，
设C₁方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），则a=2，
∴椭圆C₁上任何点的横坐标|x|≤2．
∴（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）也在C₁上，代入椭圆方程$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{\frac{1}{2}}{{b}^{2}}=1$，
解得b²=1，
∴C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
从而（3，-2$\sqrt{3}$），（4，-4）一定在抛物线C₂上，
设C₂的方程为y²=2px（p＞0），可得（-4）²=2p×4．
∴p=2，即C₂的方程为y²=4x．
（2）假设直线l过C₂的焦点F（1，0）．
当l的斜率不存在时，则M（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），N（1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
此时$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=1-$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{4}$≠0，与已知矛盾．                               
当l的斜率存在时设为k，则l的方程为y=k（x-1）代入C₁方程并整理得，（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0．
∵直线l过椭圆内部（1，0）点，故必有两交点．                       
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则
x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$．
y₁y₂=k（x₁-1）k（x₂-1）=k²（x₁x₂-x₁-x₂+1）=$\frac{-3{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴k²-4=0，k=±2，
∴存在符合条件的直线l且方程为y=±2（x-1）．

点评 本题综合考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、数量积与向量垂直的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．