Question

4．已知函数f（x）=a-be^-x的图象在x=0处的切线方程为y=x．（e是自然对数的底数，e=2.71828…）
（Ⅰ） 求a，b的值；
（Ⅱ） 若g（x）=mlnx-e^-x+$\frac{1}{2}$x²-（m+1）x+1（m＞0），求函数h（x）=g（x）-f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率，即有f（0）=0，f′（0）=1，解方程可得a=b=1；
（Ⅱ）化简h（x），求得导数，对m讨论，当0＜m＜1时，当m=1时，当m＞1时，由导数大于0，可得增区间，由导数小于0，可得减区间．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=a-be^-x的导数为f′（x）=be^-x，
即有f（0）=0，f′（0）=1，则a-b=0，b=1，
解得a=b=1；
（Ⅱ）由题意得h（x）=mlnx+$\frac{1}{2}$mx²-（m+1）x，x＞0，
h′（x）=$\frac{m}{x}$+x-（m+1）=$\frac{{x}^{2}-（m+1）x+m}{x}$=$\frac{（x-m）（x-1）}{x}$，
（1）当0＜m＜1时，令h′（x）＞0，并注意到函数的定义域（0，+∞），
得0＜x＜m或x＞1，则h（x）的增区间是（0，m），（1，+∞）；
同理可求h（x）的减区间是（m，1）；
（2）当m=1时，h′（x）≥0，则h（x）是定义域（0，+∞）内的增函数；
（3）当m＞1时，令h′（x）＞0，并注意到函数的定义域（0，+∞）得0＜x＜1或x＞m，
则h（x）的增区间是（0，1），（m，+∞）； 同理可求h（x）的减区间是（1，m）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，正确求导和运用分类讨论的思想方法是解题的关键．