Question

设椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，上顶点为A，△AF₁F₂为正三角形，且以AF₂为直径的圆与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，过右焦点F₂作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由△AF₁F₂是正三角形，知a=2c，由F₂（c，0），A（0，b），知以AF₂为直径的圆的圆心为，半径r=，由该圆与直线相切，能导出椭圆C的方程．
（Ⅱ）由F₂（1，0），知l：y=k（x-1），由，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则，=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂），由菱形对角线垂直，知（x₁+x₂-2m）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，由此入手能够推导出存在满足题意的点P且m的取值范围是（0，）．
解答：解：（Ⅰ）∵△AF₁F₂是正三角形，∴a=2c，
由已知F₂（c，0），A（0，b），
∴以AF₂为直径的圆的圆心为，半径r=，
又该圆与直线相切，
∴，
由a=2c，得b=，
∴，
∴椭圆C的方程为
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F₂（1，0），l：y=k（x-1），
由，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则，
∴=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂），
由菱形对角线垂直，则，
∴（x₁+x₂-2m）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
即k（y₁+y₂）+x₁+x₂-2m=0，
∴k²（x₁+x₂-2）+x₁+x₂-2m=0，
，
由已知条件k≠0，k∈R，
∴，
∵，∴，
故存在满足题意的点P且m的取值范围是（0，）．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．