Question

【题目】已知函数.

（1）判断函数的奇偶性；

（2）对任意两个实数，求证：当时， ；

（3）对任何实数， 恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）函数为上的奇函数；（2）证明见解析；（3）.

【解析】试题分析：（1）根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可，(2)根据题意有两种情形：①若，②，求出的表达式，根据函数的性质证明即可；（3）根据函数的单调性问题转化为，换元后，根据二次函数的性质求出，即可得的取值范围.

试题解析：

（1）任取，则，

，

任取，则，

，

又，所以对于任意的，均有，

所以函数为上的奇函数.

（2）任取，当时，（不妨令），

有下列两种情形：（1）若，

则；

（2）若，则，

因为，所以，

所以，即.

（3）由（1）（2）得：

对任意两个实数，当时， ，

则对任意两个实数，当时， ，

所以函数为上的单调递增函数，

即为，

所以.

所以原题意等价于对于任何实数恒成立，

只需，而，

所以.