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【题目】已知直线ly=3x+3,求:

(1)点P(4,5)关于直线l的对称点坐标;

(2)直线l1yx-2关于直线l的对称直线的方程;

(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程.

【答案】(1) P′(-2,7);(2) 7xy+22=0;(3) 3xy-17=0.

【解析】试题分析:(1) 设点P关于直线l的对称点为P′(xy′),则线段PP′的中点M在直线l上,且直线PP′垂直于直线l列出方程组求出坐标即可;(2)法一:联立两直线方程求出交点坐标; 在直线l1xy-2=0上任取一点(2,0),过点(2,0)与直线l3xy+3=0垂直的直线方程为x3y2,联立两直线方程求出交点坐标;根据两个交点坐标利用两点式方程写出直线;法二: 在直线l1上任取一点P(x1y1),根据点P关于直线l的对称点为Q(xy′), 列出方程组把P点坐标用xy′表示,又点P在直线l1上运动,代入整理即可;(3) 设直线l关于点A(3,2)的对称直线为l根据直线平行设出方程, 任取y3x+3上的一点(0,3),则该点关于点A(3,2)的对称点一定在直线l′上,将解出的对称点代入直线方程,求出纵截距,可得直线方程.

试题解析:

(1)设点P关于直线l的对称点为P′(xy′),则线段PP′的中点M在直线l上,且直线PP′垂直于直线l

解得.

所以P′(2,7)

(2)法一:联立方程组解得

所以直线l1l的交点为.

在直线l1xy-2=0上任取一点(2,0),过点(2,0)与直线l3xy+3=0垂直的直线方程为x3y2.

设直线x3y=2与直线l的交点坐标为(x0y0)

解得

即交点坐标为.

又点(2,0)关于点对称的点的坐标为

所以过两点的直线方程为,整理,得7xy220.

则所求直线方程为7xy220.

法二:在直线l1上任取一点P(x1y1)(Pl1),设点P关于直线l的对称点为Q(xy′),则

解得

又点P在直线l1上运动,所以x1y120.

所以20

即 7xy220.

所以所求直线方程为7xy220.

(3)设直线l关于点A(3,2)的对称直线为l

ll′,设ly3xb.

任取y3x+3上的一点(0,3),则该点关于点A(3,2)的对称点一定在直线l′上,设其对称点为(xy′)

解得

代入y3xb,得b=-17.

故直线l′的方程为y3x17

即所求直线的方程为3xy170.

点睛: 三种对称(1)点关于点的对称:点P(x0,y0)关于A(a,b)的对称点为P′(2a-x0,2b-y0).(2)点关于直线的对称:设点P(x0,y0)关于直线y=kx+b的对称点P′(x′,y′),

则有两直线斜率乘积为-1,且两点中点在直线上,可求出x′,y′.(3)直线关于直线的对称:①若直线l1与对称轴l相交,则交点必在与l1对称的直线l2上,然后再求出l1上任一个已知点P1关于对称轴l对称的点P2,那么经过交点及点P2的直线就是l2;②若直线l1与对称轴l平行,则与l1对称的直线和l1分别到直线l的距离相等,由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出l1的对称直线.

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