Question

9．已知函数f（x）=e^1+|x|-$\frac{1}{{1+{x^2}}}$，则使得f（x）＞f（2x-1）成立的x的取值范围是（　　）

• A． $（{\frac{1}{3}，1}）$
• B． $（{-∞，\frac{1}{3}}）∪（{1，+∞}）$
• C． （-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$）
• D． $（{-∞，-\frac{1}{3}}）∪（{\frac{1}{3}，+∞}）$

Answer 1

分析 由已知可得，函数f（x）为偶函数，且在x≥0时为增函数，在x≤0时为减函数，若f（x）＞f（2x-1），则|x|＞|2x-1|，解得答案．

解答 解：∵函数f（x）=e^1+|x|-$\frac{1}{{1+{x^2}}}$满足f（-x）=f（x），
故函数f（x）为偶函数，
当x≥0时，y=e^1+|x|=e^1+x为增函数，y=$\frac{1}{{1+{x^2}}}$为减函数，
故函数f（x）在x≥0时为增函数，在x≤0时为减函数，
若f（x）＞f（2x-1），则|x|＞|2x-1|，
即x²＞4x²-4x+1，即3x²-4x+1＜0，
解得：x∈$（\frac{1}{3}，1）$，
故选：A．

点评 本题考查的知识点是函数单调性，函数的奇偶性，绝对值不等式的解法，难度中档．