Question

【题目】如图，己知抛物线，直线交抛物线于两点，是抛物线外一点，连接分别交地物线于点，且.

（1）若，求点的轨迹方程.

（2）若，且平行x轴，求面积.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）设，根据向量关系可用的坐标表示的坐标，利用在抛物线可得的坐标满足的方程，同理利用D在抛物线也可得的坐标满足的方程，联立直线方程和抛物线方程结合韦达定理可得的横坐标为2.也可以利用在抛物线上及得到，利用、的中点、的中点共线得到的横坐标为2.

（2）根据（1）的相关结果可用表示的坐标、的坐标及中点的坐标，根据在抛物线上可得的值并求出的坐标，最后利用公式可求面积.

（1）解法1：，设，

则，由可得

，故，同理，

故，代入抛物线得：，

化简得：，

同理得：，

所以为方程的两根，

又由，

将代入且①，

将代入①，得，故.

故点P的轨迹方程为.

解法2：同解法1知

，

设线段的中点分别为，易知三点共线，

（为实数），所以.

以下同解法1.

（2）由为方程的两根，

可得：.

由（1）得，因为，所以，故.

轴且在抛物线上，∴关于轴对称.

，及，

且.

∵在抛物线上,，解得.

设的中点为，则，

所以，

而.