Question

已知函数f（x）=ln（e^x+1）-ax（a∈R）．
①若曲线y=f（x）在x=0处与直线x+y=b相切，求a，b的值；
②设x∈[-ln2，0]时，f（x）在x=0处取得最大值，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：①求出f（x）的导函数，由题意把x=0代入导函数中即可求出a的值，把x=0代入函数f（x）中即可求出b的值；
②分a≤0，a≥1，及0＜a＜1三种情况考虑导函数的正负，确定函数的单调性，由f（x）在x=0处取得最大值，找出满足题意的a范围，当a≤0时，得到导函数f′（x）＞0，函数在[-ln2，0]上单调递增，故x=0处取得最大值，满足题意；当a≥1时，得到导函数f′（x）＜0，函数在[-ln2，0]上单调递减，不在x=0处取得最大值，不满足题意；当0＜a＜1时，根据导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的单调性求出函数取得最大值时x的值，从而求出此时a的范围，综上，得到满足题意a的范围．

解答：解：①∵f（x）=ln（e^x+1）-ax，∴f′（x）=

ex

ex+1

-a，
依题意，曲线y=f（x）与直线x+y=b相切于（0，b），
所以f′（0）=

1

2

-a=-1，b=f（0）=ln2，
∴a=

3

2

，b=ln2；
②当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在[-ln2，0]上单调递增，在x=0处取得最大值；
当a≥1时，f′（x）＜0，f（x）在[-ln2，0]上单调递减，不在x=0处取得最大值；
当0＜a＜1时，f′（x）＞0，得x＞ln

a

1-a

；f′（x）＜0，得x＜ln

a

1-a

，
所以f（x）在（-∞，ln

a

1-a

）单调递减，在（ln

a

1-a

，+∞）单调递增．
此时f（x）在x=0或x=-ln2处取得最大值，
所以当且仅当f（0）≥f（-ln2），
即ln2≥ln

3

2

+aln2时，f（x）在x=0处取得最大值，
此时解得0＜a≤2-log₂3．
综上，a的取值范围是（-∞，2-log₂3]．

点评：此题考查了利用导数研究曲线上过某点切线方程的斜率，利用导数求闭区间上函数的最值，要求学生会根据导函数的正负确定函数的单调区间，由函数的单调性求出函数的最值．