Question

12．甲、乙两名同学在5次英语口语测试中的成绩统计如图的茎叶图所示．
（1）分别在甲乙的5次成绩中任取一次，至少有一个成绩高于80的概率；
（2）若将频率视为概率，对学生甲和乙在今后的两次英语口语竞赛成绩进行预测，记两人成绩都高于85分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）先求出分别在甲乙的5次成绩中任取一次，甲和乙的成绩都不高于80的概率，由此利用对立事件概率计算公式能求出分别在甲乙的5次成绩中任取一次，至少有一个成绩高于80的概率．
（2）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）由茎叶图知甲的5个成绩中有4个高于80，乙的5个成绩中有4个高于80，
∴分别在甲乙的5次成绩中任取一次，甲和乙的成绩都不高于80的概率：
p′=$\frac{1}{5}×\frac{1}{5}$=$\frac{1}{25}$，
∴分别在甲乙的5次成绩中任取一次，至少有一个成绩高于80的概率：
p=1-p′=1-$\frac{1}{25}$=$\frac{24}{25}$．
（2）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，
P（ξ=1）=$\frac{3}{5}×\frac{3}{5}×\frac{2}{5}×\frac{2}{5}$+$\frac{2}{5}×\frac{2}{5}×\frac{3}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{72}{625}$，
P（ξ=2）=$\frac{3}{5}×\frac{3}{5}×\frac{3}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{81}{625}$，
P（ξ=0）=1-P（ξ=1）-P（ξ=2）=1-$\frac{72}{625}$-$\frac{81}{625}$=$\frac{472}{625}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	$\frac{472}{625}$	$\frac{72}{625}$	$\frac{81}{325}$

Eξ=$0×\frac{472}{625}+1×\frac{72}{625}+2×\frac{81}{625}$=$\frac{234}{625}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．