Question

定义在上的函数，如果对任意，恒有（，）成立，则称为阶缩放函数.
（1）已知函数为二阶缩放函数，且当时，，求的值；
（2）已知函数为二阶缩放函数，且当时，，求证：函数在上无零点；
（3）已知函数为阶缩放函数，且当时，的取值范围是，求在（）上的取值范围.

Answer 1

（1）1；（2）详见解析；（3）.

试题分析：(1)本小题首先利用函数为二阶缩放函数，所以，于是由得，，由题中条件得；
(2)本小题首先对时，，得到，方程或，与均不属于（），所以当时，方程无实数解，所以函数在上无零点；
(3)本小题针对，时，有，依题意可得，然后通过分析可得取值范围为.
试题解析：（1）由得，      2分
由题中条件得        4分
（2）当时，，依题意可得：
。  6分
方程或，
与均不属于（）  8分
当（）时，方程无实数解。
注意到，所以函数在上无零点。 10分
（3）当，时，有，依题意可得：

当时，的取值范围是 12分
所以当，时，的取值范围是。 14分
由于 16分
所以函数在（）上的取值范围是：
。 18分