Question

已知函数f(x)=|x-a|+

4

x

(a∈R)．
（1）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若对于一切x∈（0，+∞），不等式f（x）≥1恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将a=0代入，根据绝对值的意义，分别讨论x＞0和x＜0时，不等式的解集情况，最后综合讨论结果，可得答案；
（2）利用零点分段法，可将函数解析式化为f（x）=

x-a+ 4 x ，x≥a -x+a+ 4 x ，x＜a

，分当a≤0时，当a∈（0，2）时和当a≥2时，三种情况分别讨论不等式f（x）≥1恒成立时，a的取值范围，最后综合讨论结果，可得答案．

解答：解：（1）当a=0时，函数f(x)=|x|+

4

x

不等式f（x）≥0可化为|x|+

4

x

≥0
当x＞0时，不等式恒成立；
当x＜0时，不等式可化为-x+

4

x

≥0
解得x≤-2
综上不等式的解集为（-∞，-2]∪（0，+∞）．       …（3分）
（2）f（x）=

x-a+ 4 x ，x≥a -x+a+ 4 x ，x＜a

…（5分）
①当a≤0时，f（x）=x+

4

x

-a≥4-a≥1，
∴a≤3．又a≤0，
所以，a≤0满足题意．                                …（7分）
②当a∈（0，2）时，函数f（x）的在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
所以f（x）=x+

4

x

-a≥4-a≥1，
∴a≤3．
又因为a∈（0，2），
所以，a∈（0，2）满足题意．    （10分）
③当a≥2时，函数f（x）的在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，
所以f（x）_min=f（a）=

4

a

≥1，
∴a≤4，
又因为a＞2，
所以a∈[2，4]满足题意． （13分）
综上，a的取值范围是（-∞，4]．…（14分）

点评：本题以函数恒成立为载体考查了绝对值函数问题的解答方法，遇到绝对值问题时，关键在于去掉绝对值符号，分类讨论是解答时常用的方法．