Question

【题目】已知圆C：x2+y2+10x+10y+34=0.

（Ⅰ）试写出圆C的圆心坐标和半径；

（Ⅱ）圆D的圆心在直线x=-5上，且与圆C相外切，被x轴截得的弦长为10，求圆D的方程；

（Ⅲ）过点P(0,2)的直线交（Ⅱ）中圆D于E，F两点，求弦EF的中点M的轨迹方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）圆心坐标为(-5,-5)，半径为4；（Ⅱ）(x+5)2+(y-12)2=169；（Ⅲ）x2+y2+5x-14y+24=0.

【解析】试题分析：（Ⅰ）将圆的方程化为标准方程，即可得到圆心坐标和半径；（Ⅱ）设圆的半径为，圆心纵坐标为，由已知条件列出方程，求出与，由此能求出圆的方程；（Ⅲ）设，根据列出且，化简可得到的轨迹方程.

试题解析：（Ⅰ）将圆的方程改写为(x+5)2+(y+5)2=16，故圆心坐标为(-5,-5)，半径为4.

（Ⅱ）设圆D的半径为r，圆心纵坐标为b，由条件可得r2=(r-1)2+52，解得r=13.

此时圆心纵坐标b=r-1=12.

所以圆D的方程为(x+5)2+(y-12)2=169.

（Ⅲ）设M(x,y)，依题意有DM⊥PM.

即（x≠0且x≠-5），

整理得x2+y2+5x-14y+24=0（x≠0且x≠-5）.

当x=0时，y=12，符合题意，当x=-5时，y=2，符合题意.

故所求点M的轨迹方程为x2+y2+5x-14y+24=0.