Question

【题目】设a＞0，f（x）= + 是R上的偶函数．
（1）求a的值；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上为增函数．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意，对一切x∈R，有f（﹣x）=f（x），即

∴ =0对一切x∈R成立，则 ，∴a=±1，∵a＞0，∴a=1

（2）证明：设0＜x1＜x2，则

= ，

由x1＞0，x2＞0，x2﹣x1＞0，

得 ，

得 ，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上为增函数

【解析】（1）根据偶函数的定义f（﹣x）=f（x）即可得到答案．（2）用定义法设0＜x1＜x2 ， 代入作差可得．
【考点精析】掌握函数单调性的判断方法和函数的偶函数是解答本题的根本，需要知道单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．