试题分析:本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、圆的标准方程及其几何性质、圆的切线的性质等基础知识,考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问,利用抛物线的准线,得到M点的坐标,利用圆的方程得到圆心C的坐标,在
中,可求出
,在
中,利用相似三角形进行角的转换,得到
的长,而
,从而解出P的值,即得到抛物线的标准方程;第二问,设出N点的坐标,利用N、C点坐标写出圆C的方程,利用点C的坐标写出圆C的方程,两方程联立,由于P、Q是两圆的公共点,所以联立得到的方程即为直线PQ的方程,而O点在直线上,代入点O的坐标,即可得到s、t的值,即得到N点坐标.
试题解析:(1)由已知得
,
C(2,0).
设
AB与
x轴交于点
R,由圆的对称性可知,
.
于是
,
所以
,即
,
p=2.
故抛物线
E的方程为
y2=4
x. 5分
(2)设
N(
s,
t).
P,
Q是
NC为直径的圆
D与圆
C的两交点.
圆
D方程为
,
即
x2+
y2-(
s+2)
x-
ty+2
s=0. ①
又圆
C方程为
x2+
y2-4
x+3=0. ②
②-①得(
s-2)
x+
ty+3-2
s=0. ③ 9分
P,
Q两点坐标是方程①和②的解,也是方程③的解,从而③为直线
PQ的方程.
因为直线
PQ经过点
O,所以3-2
s=0,
.
故点
N坐标为
或
. 12分