Question

已知点的序列A_n（x_n，0），n∈N，其中x₁=0，x₂=a（a＞0），A₃是线段A₁A₂的中点，A₄是线段A₂A₃的中点，…，A_n是线段A_n-2A_n-1的中点，…．
（I）写出x_n与x_n-1、x_x-2之间的关系式（n≥3）；
（II）设a_n=x_n+1-x_n，计算a₁，a₂，a₃，由此推测数列{a_n}的通项公式，并加以证明；
（III）求．

Answer 1

解：（I）当n≥3时，
（II）a₁=x₂-x₁=a．
由此推测．a（n∈N）
因为a₁=a＞0，且
=（n≥2）
所以．
（III）解：当n≥3时，有x_n=（x_n-x_n-1）+（x_n-1-x_n-2）+…+（x₂-x₁）+x₁=a_n-1+a_n-2+…+a₁，
由（II）知{a_n}是公比为的等比数列，所以．
分析：（I）根据题意，A_n是线段A_n-2A_n-1的中点，可得x_n与x_n-1、x_n-2之间的关系式，
（II）由题意知a₁=a，a₂=-a，a₃=a，由此推测：a_n=（-）^n-1a（n∈N^*）再进行证明．
（III）首先求出x_n，然后根据（II）知{a_n}是公比为的等比数列，求出结果．
点评：本题考查数列的性质和应用以及数列的极限，解题时要注意公式的灵活运用．属于中档题．