Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃=1，S₉=45．数列{b_n}满足b_n=

an

3n

．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）设数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：-

10

9

≤T_n≤-1．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由等差数列的定义和性质，由出首项和公差，从而得出通项公式；
（2）数列{b_n}是由一个等差数列和一个等比数列的积的形式，采用错位相减去求出前n项和，再判断它的单调性，从而求出T_n的取值范围．

解答： 解：（I）由题知：

S9= 9(a1+a9) 2 =9a5=45 a3=1

，∴

a5=5 a3=1

，故等差数列的公差d=2，a₁=-3，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2n-5．
（II）∵bn=

an

3n

，∴

Tn= a1 3 + a2 32 +…+ an-1 3n-1 + an 3n 1 3 Tn= a1 32 ++…+ an-1 3n + an 3n+1

两式相减即得

2Tn

3

=

a1

3

+2(

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

)-

an

3n+1

=

a1

3

+2×

1 9 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

an

3n+1

=-

2

3

-

2n-2

3n+1

，
从而Tn=-1-

n-1

3n

．
又∵Tn+1-Tn=(-1-

n+1-1

3n+1

)-(-1-

n-1

3n

)=-

n

3n+1

+

n-1

3n

=

-n+3n-3

3n+1

=

2n-3

3n+1

故当n≥2时T_n+1＞T_n，从而T₁＞T₂，T₂＜T₃，T₃＜T₄，…，
∴T₂≤T_n≤-1，即-

10

9

≤Tn≤-1．

点评：本题考查了等差数列的通项公式和性质，利用错位相减法求数列的和，并根据其单调性求取值范围．属于常规计算题．中档难度．