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如图,已知抛物线的方程为x2=2px(p>0,为常数),过点M(0,m)且倾斜角为θ(0<θ<
π
2
)
的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且x1x2=-p2
(1)求m的值
(2)若点M分AB所成的比为λ=
1
2
,求直线AB的方程.
分析:(1)设AB方程为y=kx+m,代入x2=2py,得x2-2pkx-2pm=0,由此能求出m.
(2)设|AA1|=|AM|=t,则|BB1|=|BM|=2t,由此得到tanθ=
2t-t
(2t+t)2-t2
=
2
4
,从而能求出AB的方程.
解答:解:(1)设AB方程为y=kx+m代入x2=2py得x2-2pkx-2pm=0,①(3分)
x1x2=-p2得,-2pm=-p2
∴2m=p,即m=
p
2
,(6分)
(2)设|AA1|=|AM|=t,则|BB1|=|BM|=2t,
∴tanθ=
2t-t
(2t+t)2-t2
=
2
4
,(10分)
故AB方程为y=
2
4
x+
p
2
.(12分)
点评:本题考查直线方程的求法,解题时要认真审题,注意抛物线性质和等价转化思想的合理运用.
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