Question

（2009•大连二模）已知正四面体ABCD的所有棱长均为3

6

，顶点A、B、C在半球的底面内，顶点D在半球面上，且D点在半球底面上的射影为半球的球心，则此半球的体积为

144π

．

Answer 1

分析：由题意求出正四面体的高，就是球的半径，然后求出球的体积．

解答：解：由题意正四面体ABCD的所有棱长均为3

6

，顶点A、B、C在半球的底面内，顶点D在半球面上，且D点在半球底面上的射影为半球的球心，可知正四面体的高就是球的半径，
所以底面ABC的中心到顶点A的距离：

2

3

×

3

2

×3

6

=3

2

，
所以球的半径为：

(3 6 )2-(3 2 )2

=6．
所以半球的体积为：

2

3

πr3=

2

3

π63=144π．
故答案为：144π．

点评：本题考查球的内接体，球的半径与球的体积的求法，考查空间想象能力与计算能力．