Question

(本题满分16分)(Ⅰ)试比较的大小；
(Ⅱ)试比较nⁿ⁺¹与(n+1)ⁿ(n∈N₊)的大小，根据(Ⅰ)的结果猜测一个一般性结论，并加以证明.

Answer 1

解：(Ⅰ)由于，，则；
又，，则；
所以. …………………………………………6分
(Ⅱ)当n=1,2时，有nⁿ⁺¹<(n+1)ⁿ.………………………………………8分
当n≥3时，有n^n+!>(n+1)ⁿ. 证明如下：
令，.
又.
∴a_n+1>a_n即数列{a_n}是一个单调递增数列.
则a_n>a_n-1>…>a₃>1
∴即nⁿ⁺¹>(n+1)ⁿ. ……………………………………16分
另证：构造函数f(x)=(x≥3)，f(x)==，
∴f(x)=在[3,+∞为递减函数，则f(n)>f(n+1)，
即，，∴，
即nⁿ⁺¹>(n+1)ⁿ(n≥3时结论成立).

略