Question

【题目】如图，点列{An}、{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+1 ， n∈N* ， |BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+1 ， n∈N* ， （P≠Q表示点P与Q不重合）若dn=|AnBn|，Sn为△AnBnBn+1的面积，则（　　）

A.{Sn}是等差数列
B.{Sn2}是等差数列
C.{dn}是等差数列
D.{dn2}是等差数列

Answer 1

【答案】A
【解析】解：设锐角的顶点为O，|OA1|=a，|OB1|=b，
|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，
由于a，b不确定，则{dn}不一定是等差数列，
{dn2}不一定是等差数列，
设△AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn ，
由三角形的相似可得 = = ， = = ，两式相加可得， = =2，
即有hn+hn+2=2hn+1 ，
由Sn= dhn ， 可得Sn+Sn+2=2Sn+1 ，
即为Sn+2﹣Sn+1=Sn+1﹣Sn ，
则数列{Sn}为等差数列．
故选：A．
设锐角的顶点为O，再设|OA1|=a，|OB1|=b，|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，由于a，b不确定，判断C，D不正确，设△AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn ， 运用三角形相似知识，hn+hn+2=2hn+1 ， 由Sn= dhn ， 可得Sn+Sn+2=2Sn+1 ， 进而得到数列{Sn}为等差数列．本题考查等差数列的判断，注意运用三角形的相似和等差数列的性质，考查化简整理的推理能力，属于中档题．