Question

【题目】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分别是PA，BC的中点，且AD=2PD=2．

（1）求证：MN∥平面PCD；

（2）求证：平面PAC⊥平面PBD；

（3）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）见解析（3）

【解析】

（1）先证明平面MEN∥平面PCD，再由面面平行的性质证明MN∥平面PCD；

（2）证明AC⊥平面PBD，即可证明平面PAC⊥平面PBD；

（3）利用锥体的体积公式计算即可．

（1）证明：取AD的中点E，连接ME、NE，

∵M、N是PA、BC的中点，

∴在△PAD和正方形ABCD中，ME∥PD，NE∥CD；

又∵ME∩NE=E，PD∩CD=D，

∴平面MEN∥平面PCD，

又MN平面MNE，

∴MN∥平面PCD；

（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，

又∵PD⊥底面ABCD，

∴PD⊥AC，

且PD∩BD=D，

∴AC⊥平面PBD，

∴平面PAC⊥平面PBD；

（3）∵PD⊥底面ABCD，

∴PD是四棱锥P-ABCD的高，且PD=1，

∴正方形ABCD的面积为S=4，

∴四棱锥P-ABCD的体积为

VP-ABCD=×S四边形ABCD×PD=×4×1=．