Question

【题目】已知函数f（x）=a--lnx，g（x）=ex-ex+1．

（1）若a=2，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）若f（x）=0恰有一个解，求a的值；

（3）若g（x）≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）

【解析】试题分析：（1）由f'（1）=0得切线斜率为1，进而得切线方程；

（2）令m（x）=+lnx，求导得函数单调性和最值，进而得解；

（3）由（Ⅱ）知函数的最大值为f（1）=a-1，g（x）=ex-ex+1，求导可得函数g（x）的最小值为g（1）=1，得1≥a-1，进而得解.

试题解析：

（1）∵a=2，∴，f'（x）=，∴f'（1）=0，∴切线方程为y=1；

（2）令m（x）=+lnx，∴m'（x）=-+，

∴当x在（0，1）时，m'（x）＞0，m（x）递增，

当x在（1，+∞）是，m'（x）＜0，m（x）递减，

故m（x）的最大值为m（1）=1，

f（x）=0恰有一个解，即y=a，与m（x）只有一个交点，∴a=1；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数的最大值为f（1）=a-1，g（x）=ex-ex+1．g'（x）=ex-e，

∴当x在（0，1）时，g'（x）＜0，g（x）递减，

当x在（1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）递增，

∴函数g（x）的最小值为g（1）=1，g（x）≥f（x）恒成立，∴1≥a-1，∴a≤2．