Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=

2

，AB=AC=AA₁=1，D是棱CC₁上的一点，P是AD的延长线与A₁C₁的延长线的交点，且PB₁∥平面BDA₁．
（Ⅰ）求证：CD=C₁D；
（Ⅱ）求二面角A₁-B₁D-P的平面角的正弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连接B₁A交BA₁于O，由已知条件推导出△ACD≌△PC₁D，由此能够证明CD=C₁D；
（Ⅱ）以A₁为坐标原点，以A₁B₁，A₁C₁A₁A所在直线建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出二面角A₁-B₁D-P的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：连接B₁A交BA₁于O，
∵PB₁∥平面BDA₁，B₁P?面AB₁P，面AB₁P∩面BA₁D=OD，…（2分）
∴B₁P∥OD，又O为B₁A的中点，
∴D为AP中点，∴C₁为A₁P中点，…（3分）
∴△ACD≌△PC₁D，∴CD=C₁D．…（4分）
（Ⅱ）解：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=

2

，AB=AC=1，
∴AB⊥AC，…（5分）
以A₁为坐标原点，以A₁B₁，A₁C₁A₁A所在直线建立空间直角坐标系如图所示．
由（Ⅰ）知C₁为A₁P中点，
∴A₁（0，0，0），B₁（1，0，0），D(0，1，

1

2

)，P（0，2，0），…（6分）
∴

A1B1

=(1，0，0)，

A1D

=（0，1，

1

2

），
设平面A₁B₁D的法向量

m

=(x，y，z)
∵

m

⊥

A1B1

且

m

⊥

A1D

，
∴

x=0 y+ 1 2 z=0

，取z=2，得y=-1，∴

m

=(0，-1，2)…（8分）

PB1

=(1，-2，0)，

PD

=(0，-1，

1

2

)，
设平面PB₁D的法向量

n

=(x1，y1，z1)，
则

n

•

PB1

=0，

n

•

PD

=0，
∴

x2-2y2=0 -y2+ 1 2 z2=0

，取x=2，得y=1，2，
∴平面PB₁D的法向量

n

=(2，1，2)…（10分）
设二面角A₁-B₁D-P平面角为θ，
则cosθ=

m • n

| m || n |

=-

5

5

，…（11分）
∴sinθ=

1-cos2θ

=

2 5

5

．…（12分）

点评：本题考查线段相等的证明，考查二面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．