Question

在四面体ABCD中，已知AB=x，该四面体的其余五条棱的长度均为2，则下列说法中错误的是（　　）

• A、棱长x的取值范围是：0＜x＜2

  3

• B、该四面体一定满足：AB⊥CD
• C、当x=2

  2

  时，该四面体的表面积最大
• D、当x=2时，该四面体的体积最大

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：空间位置关系与距离

分析：由题意画出图形，然后根据AB的变化情况进行分析，要构成四面体，A不能落在面BCD上，从而得到x的取值范围；由线面垂直的判定证得CD垂直于AB所在的面，从而得到AB⊥CD；再由∠ACB=∠ADB=90°时侧面ABC和ABD面积最大，得到使四面体的表面积最大时的x的值；四面体体积最大，则需面ACD⊥面BCD，x值可求．

解答： 解：如图，

四面体ABCD中，AD=AC=DC=BD=BC=2，
取CD中点G，连结AG，BG，
在等边三角形ACD和等边三角形BCD中，可求得AG=BG=

3

，
∴要构成四面体ABCD，A，B不能重合，即x＞0，点A不能在平面BCD上，即AB＜AG+BG，x＜2

3

．
∴选项A正确；
由

AG⊥CD BG⊥CD AG∩BG=G

⇒CD⊥面ABG，
∵AB?面ABG，
∴AB⊥CD．
∴选项B正确；
要使四面体ABCD的表面积最大，则需要四面体的侧面ABC和ABD面积最大，
∵△ABC≌△ABD，S△ABC=

1

2

×2×2×sin∠ACB，
∴当∠ACB=90°时
此时AB=侧面ABC和ABD面积最大，此时x=2

2

．
∴选项C正确；
由图可知，当AG⊥面BCD时四面体体积最大，此时x=

3+3

=

6

．
∴选项D错误．
故选：D．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了数形结合的解题思想方法，解答的关键在于动中求静，是中档题．