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    精英家教网已知椭圆C的方程为
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    ，点A、B分别为其左、右顶点，点F1、F2分别为其左、右焦点，以点A为圆心，AF1为半径作圆A；以点B为圆心，OB为半径作圆B；若直线l： y=-
    		3
    3
    x    被圆A和圆B截得的弦长之比为
    		15
    6
    ；
    （1）求椭圆C的离心率；
    （2）己知a=7，问是否存在点P，使得过P点有无数条直线被圆A和圆B截得的弦长之比为
    3
    4
    ；若存在，请求出所有的P点坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）根据直线l的斜率可知直线l的倾斜角，进而可求得点A到直线l的距离，进而表示出直线l被圆A截得的弦长和被圆B截得的弦长，利用弦长之比为
    		15
    6
    ，求得a和c的关系，进而求得e．
    （2）假设存在，设P点坐标为（m，n），过P点的直线为L，当直线L的斜率不存在时，直线L不能被两圆同时所截，故可知直线L的斜率一定存在，进而可设直线方程，求得点A（-7，0）到直线L的距离，根据（1）的离心率求得圆A的半径，同样可求得圆B的半径，则可求得直线L被两圆截得的弦长，根据他们的比为
    3
    4
    建立等式，整理成关于k的一元二次方程，方程有无穷多解，进而求得m和n，则点P的坐标可得．
    解答：解：（1）由kl=-
    		3
    3
    ，得直线l的倾斜角为150°，
    则点A到直线l的距离d1=asin(180°-150°)=
    a
    2
    ，
    故直线l被圆A截得的弦长为L1=2
    		(a-c)2-
    d
    2
    1
    =2
    		(a-c)2-(
    a
    2
    )    2
    ，
    直线l被圆B截得的弦长为L2=2acos(180°-150°)=
    		3
    a    ，
    据题意有：
    L1
    L2
    =
    		15
    6
    ，即
    2
    		(a-c)2-(
    a
    2
    )    2
    		3
    a
    =
    		15
    6

    化简得：16e2-32e+7=0，
    解得：e=
    7
    4
    或e=
    1
    4
    ，又椭圆的离心率e∈（0，1）；
    故椭圆C的离心率为e=
    1
    4
    ．

    （2）假设存在，设P点坐标为（m，n），过P点的直线为L；
    当直线L的斜率不存在时，直线L不能被两圆同时所截；
    故可设直线L的方程为y-n=k（x-m），
    则点A（-7，0）到直线L的距离D1=
    |-7k-km+n|
    		1+k2
    ，
    由（1）有e=
    c
    a
    =
    1
    4
    ，得rA=a-c=
    3a
    4
    =
    21
    4
    ，
    故直线L被圆A截得的弦长为L1′=2
    r
    2
    A
    -
    D
    2
    1
    ，
    则点B（7，0）到直线L的距离D2=
    |7k-km+n|
    		1+k2
    ，rB=7，
    故直线L被圆B截得的弦长为L2′=2
    r
    2
    B
    -
    D
    2
    2
    ，
    据题意有：
    L1
    L2
    =
    3
    4
    ，即有16（rA2-D12）=9（rB2-D22），整理得4D1=3D2，
    即
    4|-7k-km+n|
    		1+k2
    =
    3|7k-km+n|
    		1+k2
    ，
    关于k的方程有无穷多解，
    故有：
    7m2+350m+343=0
    7n2=0
    ?
    n=0
    m=-1
    或
    n=0
    m=-49
    ，
    故所求点P坐标为（-1，0）或（-49，0）．
    点评：本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆、圆的关系的综合考查．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．
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    已知椭圆C的方程为
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    ，椭圆C的左、右焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），斜率为k（k≠0）的直线l经过点F2，交椭圆于A、B两点，且△ABF1的周长为8．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）设点E为x轴上一点，
    AF2
    =λ
    F2B
    （λ∈R），若
    F1F2
    ⊥(
    EA
    +λ
    BE
    )    ，求点E的坐标．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•崇明县二模）已知椭圆C的方程为
    x2
    a2
    +
    y2
    2
    = 1    （a＞0），其焦点在x轴上，点Q(
    		2
    2
    ，
    		7
    2
    )    为椭圆上一点．
    （1）求该椭圆的标准方程；
    （2）设动点P（x0，y0）满足
    OP
    =
    OM
    +2
    ON
    ，其中M、N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为-
    1
    2
    ，求证：
    x
    2
    0
    +2
    y
    2
    0
    为定值；
    （3）在（2）的条件下探究：是否存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2007•河北区一模）已知椭圆C的方程为 
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1     （a＞b＞0），过其左焦点F1（-1，0）斜率为1的直线交椭圆于P、Q两点．
    （Ⅰ）若
    OP
    +
    OQ
    与
    a
    =（-3，1）共线，求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）已知直线l：x+y-
    1
    2
    =0，在l上求一点M，使以椭圆的焦点为焦点且过M点的双曲线E的实轴最长，求点M的坐标和此双曲线E的方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C的方程为
    x 2
    4
    +
    y2
    3
    =1，过C的右焦点F的直线与C相交于A、B两点，向量
    m
    =(-1，-4)，若向量
    OA
    -
    OB
    与
    m
    -
    OF
    共线，则直线AB的方程是（　　）

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    已知椭圆C的方程为
    x 2
    4
    +
    y2
    3
    =1，过C的右焦点F的直线与C相交于A、B两点，向量
    m
    =(-1，-4)，若向量
    OA
    -
    OB
    与
    m
    -
    OF
    共线，则直线AB的方程是（　　）
    A．2x-y-2=0B．2x+y-2=0C．2x-y+2=0D．2x+y+2=0

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